Mathe kann auch schön sein – die Fibonacci-Reihe

In diesem Beitrag schreibt Stefan am Beispiel der Fibonacci-Reihe und der Bauweise antiker Tempel, warum Mathematik auch einfach mal nur schön sein kann.

Die Fibonacci-Reihe

Die Fibonacci-Reihe ist eine Reihe von Zahlen, bei der jede Zahl die Summe der beiden Vorgänger bildet. Die beiden ersten Elemente sind dabei die 0 und die 1:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, u.s.w.

Ein bisschen Rechnerei

Nun schauen wir uns einmal die Quotienten an, die entstehen, wenn wir eine Zahl der Reihe durch die vorhergehende Zahl teilen. 1 durch 0 ist Unendlich. 1 durch 1 ist 1, 2 durch 1 ist 2, 3 durch 2 ist 1,5, 5 durch 3 = 1,6666. Als Tabelle sieht es so aus:

Es fällt auf, dass jeder Wert der Folge abwechselnd größer oder kleiner ist als der vorhergehende Wert. Die Folge der Quotienten der Fibonacci-Reihe alterniert. Mehr noch, die Folge nähert sich einem Wert, der sich ab der 42. Position bei der hier dargestellten Rechengenauigkeit von 10 Nachkommastellen nicht mehr ändert. Man sagt, die Folge konvergiert. In unserem Beispiel konvergiert die Folge gegen 1,6180339…

Und nun etwas ganz anderes – oder vielleicht nicht?

Habt ihr euch schon einmal Bilder von alten griechischen Tempeln angesehen?  Diese erfreuen das Auge des Betrachters, da die alten Baumeister die Breite des Bauwerkes und die Höhe in einem ganz besonderen Verhältnis konstruierten.

Sie  teilten die Maße nach dem sogenannten Goldenen Schnitt. Dieser wird wie folgt berechnet:

Zwei Strecken a und b  stehen im Verhältnis des Goldenen Schnittes, wenn sich die größere Strecke a  zur kleineren Strecke b verhält wie die Summe aus beiden, also a + b,  zur größeren Strecke a.

Oder als Gleichung

Daraus ergibt sich als Verhältnis von a zu b:

Und das ist genau die gleiche Zahl wie der oben berechnete Wert aus der der Fibonacci-Reihe. Es ist die Zahl Φ (PHI).

So ein schöner Zufall. Da ist das Verhältnis von Breite zu Höhe bei einem antiken Tempel genau die gleiche Zahl wie das Verhältnis zweier Zahlen der Fibonacci-Reihe, wenn die Zahlen hinreichend groß sind.

Übrigens, wenn ihr jetzt die Seite ausdrucken wollt und euren Drucker das amerikanische Papierformat Letter einstellt, bekommt ihr als Papiergröße 35,56cm * 21,59cm angezeigt. Und  35,56cm durch 21,59cm sind 1,6471, also auch ungefähr der Wert von Φ.

In meinem nächsten Beitrag schreibe ich etwas über die Fibonacci-Reihe, über rekursive und implizite Berechnungen und über das Wachstum von Pflanzen.