Mathematik für Jedermann – Teil 2: Was ist ein Körper?

Nachdem ich ihnen im Teil 1 der Serie “Mathematik für Jedermann” etwas über Gruppen erzählt habe, möchte ich heute einen Schritt weiter gehen.

Wir haben immer noch das Ziel vor Augen, die quadratische Gleichung x²=-1 zu lösen und ich verspreche, dass Sie dann in Teil 3 dazu in der Lage sind.

Auch bei diesem Artikel möchte ich Ihnen zuerst mal eine Definition geben und danach erklären was damit gemeint ist.

Hier wird sich zum Schluss auch wieder herausstellen, dass die meisten von uns schon Körper im mathematischen Sinn kennen.

Formale Definition von einem Körper:

Ein Körper (K,+,*) besteht aus einer Menge K und zwei Verknüpfungen „ + “ und „*“ (die üblicherweise Addition und Multiplikation genannt werden) und es müssen folgende Eigenschaften für alle a,b,c in K erfüllt sein.

• (K,+) eine abelsche Gruppe
• (K\{0},*) abelsche Gruppe
• Distributiv Gesetz muss gelten, d.h. (a+b)c=ac+bc und a(b+c)=ab+bc

Erklärung für Normalos/Nichtmathematiker

Im letzten Artikel haben wir ja erfahren was eine Gruppe ist. Eine Gruppe ist eine Menge mit eine Verküpfung. Wir haben dies am Beispiel der ganzen Zahlen verdeutlicht.

Im Prinzip ist ein Körper etwas Ähnliches. Wir haben wieder eine Menge aber diesmal zwei Verknüpfungen und jedes mal muss eine abelsche Gruppe dabei herauskommen. Also ist Körper etwas spezifischer als eine Gruppe.

Zum Beispiel sind die ganzen Zahlen, wie wir ja wissen eine Gruppe, aber kein Körper. Dies liegt daran, dass es nicht für alle Zahlen mit der Verknüpfung * (mal) eine Inverse gibt. Nehmen wir die Zahl 3, da wäre die Inverse 1/3, da 3*1/3=1, aber 1/3 ist ja keine ganze Zahl.

Beispiel für eine Gruppe: Die Rationalen Zahlen (Q)

Die rationalen Zahlen, also alle Bruchzahlen sind ein Körper. Dies können wir leicht verdeutlichen an Beispielen. Dies ist kein mathematischer Beweis.

• Dass (Q,+) ist eine abelsche Gruppe, da auch (Z,+) eine abelsche Gruppe.Wie wir alle wissen sind in den rationalen Zahlen die ganzen Zahlen enthalten. Deshalb sind auch die rationalen Zahlen mit der Verknüpfung + eine abelsche Gruppe.
• (Q,*) abelsche Gruppe.

- abgeschlossen: Multiplizieren wir zwei rationale  Zahlen, so erhalten wir wieder eine rationale Zahl. Wir verlassen die Gruppe also nicht.-

-assoziativ: Es ist egal ob (2/3*3/4)*5/6 oder 2/3*(3/4*5/6) rechnen. Wir können bei der Multiplikation die Klammern beliebig vertauschen.

- Neutrales Element: Die Eins gehört zu den rationalen Zahlen, somit haben wir auch eine neutrale Zahl gefunden. Wenn wir 5/3*1 oder 1*5/3 rechnen ändert sich der Zahlenwert nicht.

- Inverses Element: Jede rationale Zahl besitzt eine Gegenzahl, sodass beim multiplizieren immer das neutrale Element, hier die Eins, herauskommt. 2*(1/2)=1 oder 5+*(1/5)=0

- Kommutativ: Die rationalen Zahlen mit der Multiplikation sind kommutativ, denn es ist egal ob wir 2/3*3/4 oder 3/4*2/3 rechnen, wir erhalten immer 1/2.

• Nun müssen wir nur noch zeigen, dass Q auch distributiv ist. Dies ist auch ganz leicht. 1/2*(1/3+2/3)=1/6+2/6=1/2

Nun haben wir uns an einigen Zahlenbeispielen verdeutlicht, dass die “Bruchzahlen” ein Körper sind.

Natürlich gibt es noch viel mehr Körper, unter anderem die reellen Zahlen IR.

Ich hoffe ich konnte Ihnen etwas was ein Körper im mathematischen Sinne ist.

Nicht zu verwechseln mit dem geometrischen Körper!!!

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Wer konnte dem Artikel noch folgen? Ist er mathematisch schon zu hoch? Was wünschen Sie sich in Zukunft für Artikel?